Shinichi Mochizuki et la preuve impénétrable

Les journaux étaient énormes de plus de 500 pages, tous bourrés de symboles et le point culminant de plus d'une décennie de travail solitaire. Ils avaient également le potentiel d'être une bombe académique. En eux, Mochizuki a affirmé avoir résolu la conjecture abc, un problème de 27 ans dans la théorie des nombres, qu'aucun autre mathématicien n'avait même été près de résoudre. Si sa preuve était correcte, ce serait une des réalisations les plus étonnantes des mathématiques de ce siècle et révolutionnerait complètement l'étude des équations avec des nombres entiers.

Mochizuki, cependant, n'a pas fait de bruit sur sa preuve. Le mathématicien respecté,collier faux love cartier, qui travaille à l'Institut de recherche pour les sciences mathématiques de l'Université de Kyoto (RIMS) au Japon, n'a même pas annoncé son travail aux pairs dans le monde entier. Il a tout simplement posté les journaux et a attendu que le monde découvre.

Probablement, la première personne à remarquer les papiers était Akio Tamagawa, un collègue de Mochizuki à RIMS. Il, comme d'autres chercheurs, savait que Mochizuki avait travaillé sur la conjecture depuis des années et avait finalisé son travail. Le même jour, Tamagawa J'ai envoyé les nouvelles à l'un de ses collaborateurs, le théoricien du numéro Ivan Fesenko, de l'Université de Nottingham, au Royaume-Uni. Fesenko a immédiatement téléchargé les articles et a commencé à lire. Mais il est vite devenu 'déconcerté', dit-il. 'Il était impossible de les comprendre . '

Fesenko a posté quelques experts de haut niveau dans le domaine de la géométrie arithmétique de Mochizuki, et le mot de la preuve s'est rapidement répandu. Mais pour de nombreux chercheurs, l'élation précoce de la preuve s'est rapidement tournée vers le scepticisme. Chacun, même ceux dont le domaine d'expertise était le plus proche de Mochizuki ' S était tout aussi floué par les journaux que Fesenko avait été. Pour compléter la preuve, Mochizuki avait inventé une nouvelle branche de sa discipline, qui est étonnamment abstraite même par les normes des mathématiques pures. 'En regardant cela, vous vous sentez un peu comme si vous étiez en train de lire un document du futur ou de l'espace', a déclaré le journaliste Jordan Ellenberg, de l'Université du Wisconsin Madison, quelques jours après l'apparition du journal.

Trois ans plus tard, la preuve de Mochizuki reste dans les limbes mathématiques ni débilisées ni acceptées par la communauté dans son ensemble. Mochizuki a estimé qu'il faudrait un étudiant diplômé en mathématiques d'environ 10 ans pour pouvoir comprendre son travail et Fesenko croit qu'il faudrait Même un expert en géométrie arithmétique environ 500 heures.

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L'ajout à l'énigme est Mochizuki lui-même. Jusqu'à présent, il a donné des conférences sur son travail au Japon, en japonais, et malgré le fait de parler couramment l'anglais, il a refusé d'inviter à parler ailleurs. Il ne parle pas aux journalistes; Plusieurs demandes pour une entrevue pour cette histoire sont sans réponse. Mochizuki a répondu aux e-mails d'autres mathématiciens et a été transmis à des collègues qui l'ont visité, mais son seul apport public a été des messages sporadiques sur son site. En décembre 2014, il a écrit que, pour comprendre son travail, il fallait que les chercheurs désactivent les modèles de pensée qu'ils ont installés dans leur cerveau et qu'ils ont pris pour acquis pendant tant d'années ». Pour le mathématicien Lieven Le Bruyn de l'Université d'Anvers en Belgique, l'attitude de Mochizuki est passionnante. 'C'est juste moi', a-t-il écrit sur son blog plus tôt cette année ', ou Mochizuki a-t-il vraiment pris son doigt dans la communauté mathématique '.

Maintenant, cette communauté essaie de trier la situation. En décembre, le premier atelier sur la preuve en dehors de l'Asie aura lieu à Oxford, au Royaume-Uni. Mochizuki ne sera pas présent en personne, mais il est disposé à répondre aux questions de l'atelier via Skype. Les organisateurs espèrent que la discussion motivera davantage de mathématiciens à investir le temps de se familiariser avec ses idées et de déplacer l'aiguille dans la faveur de Mochizuki.

Dans son dernier rapport de vérification, Mochizuki a écrit que le statut de sa théorie par rapport à la géométrie arithmétique «constitue une sorte de modèle miniature fidèle du statut des mathématiques pures dans la société humaine». Les problèmes auxquels il est confronté en communiquant son travail abstrait à sa propre discipline reflètent le défi auquel les mathématiciens dans leur ensemble font souvent face dans la communication de leur métier au monde entier.

Importance primordiale La conjecture abc se réfère à des expressions numériques du type a + b = c. La déclaration, qui se présente dans plusieurs versions légèrement différentes, concerne les nombres premiers qui divisent chacune des quantités a, b et c. Chaque nombre entier, ou entier, peut être exprimé d'une manière essentiellement unique en tant que produit de nombres premiers, ceux qui ne peuvent être plus pris en compte dans des nombres entiers plus petits: par exemple, 15 = 3 5 ou 84 = 2 2 3 7. En principe , Les facteurs primaires de a et b n'ont aucun lien avec ceux de leur somme, c. Mais la conjecture abc les relie ensemble. Il suppose, à peu près, que, si beaucoup de petits nombres primes divisent a et b alors seulement quelques-uns, les grands se divisent c.

Cette possibilité a été mentionnée pour la première fois en 1985, dans une remarque plutôt manuelle sur une classe particulière d'équations du mathématicien français Joseph Oesterl lors d'un entretien en Allemagne. L'auditoire était David Masser, un théoricien de théâtre à l'université de Bâle en Suisse, qui a reconnu l'importance potentielle de la conjecture et l'a plus tard publié sous une forme plus générale. Il est maintenant crédité aux deux et est souvent connu comme la conjecture d'Oesterl Masser.

Quelques années plus tard, Noam Elkies, un mathématicien de l'Université de Harvard à Cambridge, dans le Massachusetts, a compris que la conjecture abc, si elle était vraie, aurait des implications profondes pour l'étude des équations concernant des nombres entiers aussi connus sous le nom d'équations diophantiennes après Diophantus, l'ancien grec Mathématicien qui les a étudiés pour la première fois.

Elkies a constaté qu'une preuve de la conjecture abc résoudrait une énorme collection d'équations diophantiennes célèbres et non résolues d'un trait. C'est parce qu'il mettrait des limites explicites sur la taille des solutions. Par exemple, abc pourrait montrer que toutes les solutions à une équation doivent être inférieures à 100. Pour trouver ces solutions, tout ce qui devrait être fait serait de connecter tous les numéros de 0 à 99 et de calculer ceux qui fonctionnent. Sans abc, en revanche, il y aurait infiniment de nombres à connecter.

Le travail d'Elkies signifiait que la conjecture abc pourrait remplacer la découverte la plus importante de l'histoire des équations diophantiennes: confirmation d'une conjecture formulée en 1922 par le mathématicien américain Louis Mordell, qui a déclaré que la grande majorité des équations diophantiennes ne présentent ni solutions ni Ont eu un nombre fini d'entre eux. Cette conjecture a été prouvée en 1983 par le mathématicien allemand Gerd Faltings, qui avait alors 28 ans et trois ans gagnerait une médaille de Fields, le prix de mathématiques le plus convoité, pour le travail. Mais si abc est vrai, vous Ne sait pas combien de solutions il y a, dit Falcts, 'vous pouvez les énumérer tous'.

Peu de temps après que Falcts a résolu la conjecture de Mordell, il a commencé à enseigner à l'Université de Princeton dans le New Jersey et, dans peu de temps, son chemin a franchi celui de Mochizuki.

Né en 1969 à Tokyo, Mochizuki a passé ses années de formation aux États-Unis, où sa famille a déménagé quand il était enfant. Il a fréquenté un lycée exclusif au New Hampshire, et son talent précoce lui a valu un poste de premier cycle dans le département de mathématiques de Princeton lorsqu'il avait à peine 16 ans. Il est rapidement devenu une légende pour sa pensée originale et est entré directement dans un doctorat.

Les gens qui connaissent Mochizuki le décrivent comme une créature d'habitude avec une capacité quasi-surnaturelle à se concentrer. 'Depuis qu'il était étudiant, il se lève et travaille', explique Minhyong Kim, un mathématicien à l'Université d'Oxford, au Royaume-Uni, qui connaît Mochizuki depuis ses journées de Princeton. Après avoir assisté à un séminaire ou à un colloque, les chercheurs et les étudiants sortiraient souvent ensemble pour une bière, mais pas Mochizuki, rappelle Kim. 'Il n'est pas introverti par la nature, mais il est tellement concentré sur ses mathématiques'.

Faltings était le conseiller de Mochizuki pour sa thèse de haut niveau et pour son doctorat, et il pouvait voir que Mochizuki se démarquait. 'Il était clair qu'il était l'un des plus brillants', dit-il. Mais être un étudiant Faltings ne pouvait pas Ont été faciles. 'Faltings était au sommet de l'échelle d'intimidation', se souvient Kim. Il se précipitait sur les erreurs et, lorsqu'il lui parlait, même des mathématiciens éminents pouvaient souvent se faire entendre nerveusement à la gorge.

La recherche de Faltings a eu une influence extraordinaire sur de nombreux jeunes théoriciens de nombre dans les universités situées le long de la côte est des États-Unis. Son domaine d'expertise était la géométrie algébrique qui, depuis les années 1950, avait été transformée en domaine théorique et très abstrait par Alexander Grothendieck souvent décrit comme Le plus grand mathématicien du vingtième siècle. 'Par rapport à Grothendieck', dit Kim,cartier copie collier love, 'Faltings n'a pas eu autant de patience pour philosopher'. Son style de mathématiques exigeait 'beaucoup de connaissances abstraites, mais aussi tendait à avoir des problèmes très concrets. Le travail de Mochizuki sur abc fait exactement cela'.

L'attention de la piste unique Après son doctorat, Mochizuki a passé deux ans à Harvard, puis en 1994 est retourné à son Japon natal, âgé de 25 ans,pendentif cartier copie love, à un poste chez RIMS. Bien qu'il ait vécu pendant des années aux États-Unis, «il était en quelque sorte mal à l'aise avec la culture américaine», dit Kim. Et, ajoute-t-il, grandir dans un pays différent peut avoir aggravé le sentiment d'isolement qui vient d'être un enfant mathématiquement doué. 'Je pense qu'il a souffert un peu'.

Mochizuki a prospéré à RIMS, ce qui n'oblige pas ses professeurs à enseigner des cours de premier cycle. 'Il a pu travailler seul pendant 20 ans sans trop de perturbation externe', déclare Fesenko. En 1996, il a renforcé sa réputation internationale lorsqu'il a résolu une conjecture énoncée par Grothendieck; Et en 1998, il a donné une conférence invitée au Congrès international des mathématiciens à Berlin, l'équivalent,pendentif cartier love copie, dans cette communauté, d'une induction à un salon de la renommée.

Mais même si Mochizuki se faisait le respect, il s'éloignait du courant dominant. Son travail atteignait des niveaux d'abstraction plus élevés et il écrivait des journaux de plus en plus impénétrables pour ses pairs. Au début des années 2000, il a cessé de s'aventurer à des réunions internationales, et ses collègues disent qu'il quitte rarement la préfecture de Kyoto. «Cela nécessite un dévouement particulier pour pouvoir se concentrer sur une période de plusieurs années sans avoir collaboré», affirme le théoricien du nombre, Brian Conrad, de l'Université de Stanford en Californie.

Mochizuki s'est entretenu avec les autres théoriciens du nombre, qui savaient qu'il visait finalement l'abc. Il n'avait pas de compétition: la plupart des autres mathématiciens avaient évité le problème, le considérant comme intratable. Au début de 2012, des rumeurs faisaient voler que Mochizuki s'approchait d'une preuve. Puis, les nouvelles d'août: il avait publié ses articles en ligne.

Le mois prochain, Fesenko est devenu la première personne de l'extérieur du Japon à parler à Mochizuki du travail qu'il a dévoilé tranquillement. Fesenko était déjà venu visiter Tamagawa, alors il est allé voir Mochizuki aussi. Les deux se sont rencontrés samedi dans le bureau de Mochizuki, une chambre spacieuse offrant une vue sur le mont Daimonji à proximité et avec des livres et des papiers soigneusement arrangés. C'est «le bureau le plus ordonné de tout mathématicien que j'ai jamais vu dans ma vie», Fesenko dit. Alors que les deux mathématiciens étaient assis dans des fauteuils en cuir, Fesenko saupoudra Mochizuki avec des questions sur son travail et ce qui pourrait se passer ensuite.

Fesenko dit qu'il a prévenu Mochizuki d'être conscient de l'expérience d'un autre mathématicien: le topologue russe Grigori Perelman, qui a frappé la renommée en 2003 après avoir résolu la conjecture centenaire de Poincaré (voir Nature 427, 388, 2004), puis s'est retiré et est devenu de plus en plus Éloigné des amis, des collègues et du monde extérieur. Fesenko a connu Perelman et a vu que les personnalités de ces deux mathématiciens étaient très différentes. Alors que Perelman était connu pour ses compétences sociales gênantes (et pour laisser ses ongles se défaire), Mochizuki est universellement décrit comme étant articulé et amical s'il est intensément privé de sa vie à l'extérieur de travail.

Normalement, après l'annonce d'une preuve majeure, les mathématiciens lisent le travail généralement de quelques pages et peuvent comprendre la stratégie générale. De temps en temps, les preuves sont plus longues et plus complexes, et des années peuvent alors passer pour les spécialistes de premier plan pour l'examiner pleinement et parvenir à un consensus sur le fait qu'il est correct. Le travail de Perelman sur la conjecture de Poincaré a été accepté de cette manière. Même dans le cas du travail très abstraite de Grothendieck, les experts ont pu relier la plupart de ses nouvelles idées aux objets mathématiques qu'ils connaissaient. Une fois que la poussière s'est installée, un journal publie généralement la preuve.